Генетическое равновесие популяции - Закон Харди-Вайнберга

Популяция включает огромное количество разнообразных генов, которые образуют ее генофонд. Каждый ген может существовать в нескольких формах, называемых аллелями. В пределах генофонда популяции число особей, несущих определенный аллель, определяет частоту данного аллеля. Т.о., можно сказать, что генетическую структуру популяции характеризуют частоты аллелей и частоты генотипов.

Ранее сложно было определить частоту встречаемости тех или иных генов (генотипов) в популяции. С переоткрытием законов Менделя, за год до того, как Иогансон в 1909 году предложил назвать менделевские наследственные факторы "генами", независимо друг от друга английский математик Г. Харди и немецкий врач В. Вайнберг изучая математическую модель популяции установили, что частоты членов пары аллельных генов в популяции распределяются в соответствии с коэффициентами разложения бинома Ньютона, соотношение одной пары альтернативных генов В и b постоянны из поколения в поколение и в последующих поколениях выражаются формулой

р² + 2pq + q² = 1,

где р - пропорция (частота) доминантного гена, q - частота рецессивного гена а в популяции.

То есть, если мы помножим бином, члены которого представляют собой частоты генов B и b для совокупности сперматозоидов (частота гена B + частота гена b), на другой такой же бином для совокупности яйцеклеток, то получим разложение бинома Ньютона - выражение, члены которого будут соответствовать частотам различных генотипов в потомстве (частота BB + частота Bb + частота bb):

(частота гена B
+ частота гена b) X (частота гена B
+ частота гена b) = (частота BB + частота Bb + частота bb) = 1 = 100%

совокупность
сперматозоидов X совокупность
яйцеклеток = потомство

(доминантные
гомозиготы + гетерозиготы + рецессивные
гомозиготы) = 1 = 100%

Это совершенно аналогично операции для предсказания генотипов потомства от того или иного скрещивания, с той лишь разницей, что теперь перед символом каждого гена ставится дробь, равная частоте этого гена в популяции; например: (1/2 B + 1/2 b) X (1/2 B + 1/2 b) = 1/4 BB + 1/2 Bb + 1/4 bb

При таких расчетах частоты генов обычно выражают десятичными дробями, так как их проще умножать.

Эта сформулированная зависимость позже была названа равновесием (правилом, законом) Харди-Вайнберга: относительные частоты доминантного и рецессивного аллелей и генотипов в данной популяции постоянны из поколения в поколение при свободном скрещивании особей и отсутствии в популяции мутационного процесса.

Закономерное распределение генотипов в ряду поколений в зависимости от частоты образования гамет разных типов

Ж B(р) b(q)
M

B(р) BB (p²) Bb (pq)

b(q) Bb (pq) bb (q²)

Поскольку гамет, несущих ген А и несущих ген а, поровну,то:

B (р=1/2) b (q=1/2)

B (р=1/2) 1/4BB 1/4Bb

b (q=1/2) 1/4Bb 1/4bb

Предположим, что в популяции происходит свободное скрещивание самца коричневой рецессивной гомозиготной морской свинки с черной доминантной гомозиготной самкой, отличающихся по одной паре аллелей ВВ и bb. В мейозе у самца два гена bb разойдутся так, что каждый сформированный сперматозоид будет содержать только один ген b, а в мейозе у самки разойдутся гены ВВ и в каждую яйцеклетку попадет лишь один ген В (рис.1). В результате оплодотворения такой яйцеклетки сперматозоидом с геном b получатся гетерозиготные животные с генетической формулой Вb - первое гибридное поколение F₁, т.е. такая морская свинка будет содержать доминантный ген В и рецессивный ген b, и будет черной окраски.

При скрещивании двух гетерозиготных черных морских свинок происходит следующее. В мейозе хромосома, содержащая ген В, и хромосома, содержащая ген b, сначала конъюгируют, а затем расходятся, так что каждый сперматозоид и каждая яйцеклетка получают либо ген В, либо ген b, но никогда не получают одновременно оба эти гена. Сперматозоиды и яйцеклетки, содержащие ген В и соответственно ген b, образуются в равном числе. Между яйцеклетками и сперматозоидами, содержащими одинаковые гены, нет ни какого-либо особого притяжения, ни отталкивания; яйцеклетка с геном В с одинаковой вероятностью может быть оплодотворена как сперматозоидом, содержащим ген В, так и сперматозоидом, содержащим ген b.

Чтобы наглядно представить все возможные комбинации, чертят "решетку", вдоль верхней стороны которой выписывают все возможные типы яйцеклеток, а вдоль левой — все возможные типы сперматозоидов, клетки же заполняют всеми возможными их сочетаниями в зиготе (рис.1.). Три четверти всех потомков будут ВВ или Вb и потому будут иметь черную окраску; одна четверть будет bb, и эти особи будут коричневыми. Это фенотипическое отношение 3 : 1 характерно для потомков второго гибридного поколения (F₂), полученного от скрещивания особей, различающихся по одному признаку, обусловленному одной парой генов. Генотипическое отношение при этом будет 1ВВ:2Вb:1bb. Потомки от их скрещивания между собой - гибридное поколение F₃ и т.д. будут иметь аналогичные генотипы в аналогичном соотношении согласно закону Харди-Вайнберга.

Доказательство закона Харди-Вайнберга

Обозначим частоту доминантного аллеля В через р, т.е. р - вероятность иметь доминантный аллель В в наугад выбранной хромосоме. Тогда, вероятность иметь рецессивную аллель b будет 1-р, которое обозначим через q (1-р=q). Соответственно вероятности для особи (одного родителя) иметь частоту аллелей будет BB = p², bb = (1-р)² = (q²), Bb = 2p(1-p) = 2pq.

Пусть количество гамет, несущих ген В и несущих ген b, будет поровну 1/2 В и 1/2 b. Тогда, соответственно, вероятность для одного родителя иметь частоту аллелей будет: BB = 1/4, bb = 1/4, Bb = 1/2

Таким образом, берем популяцию в которой генотипы представлены в отношении 1/4 ВВ : 1/2 Bb : 1/4 bb. Если все члены популяции выбирают себе партнеров независимо от того, имеют ли они генотип BB, Bb или bb, и если все пары производят приблизительно одинаковое число потомков, то и в последующих поколениях соотношение генотипов потомков будет аналогичным: 1/4 BB : 1/2 Bb : 1/4 bb (табл. 1).

Таб. 1. Потомство свободно скрещивающейся популяции состава 1/4 BB : 1/2 Bb : 1/4 bb
Скрещивание		Частота	Потомство
самец	самка
BB Х BB		1/4 Х 1/4	1/16 BB
BB X Bb		1/4 X 1/2	1/16 BB + 1/16 Bb
BB Х bb		1/4 Х 1/4	1/16 Bb
Bb Х BB		1/2 Х 1/4	1/16 BB + 1/16 Bb
Bb Х Bb		1/2 Х 1/2	1/16 BB + 1/8 Bb + 1/16 bb
Bb Х bb		1/2 X 1/4	1/16 Bb + 1/16 bb
bb Х BB		1/4 Х 1/4	1/16 Bb
bb Х Bb		1/4 X 1/2	1/16 Bb + 1/16 bb
bb Х bb		1/4 Х 1/4	1/16 bb
Всего:			4/16 BB + 8/16 Bb + 4/16 bb

В только что рассмотренном примере мы приняли, что исходная популяция имела состав 1/4 BB : 1/2 Bb : 1/4 bb. Мы может представить эти отношения в общей форме, обозначив частоту гена B в популяции через р и частоту гена b через q. Поскольку каждый ген должен быть либо B либо b, то р + q = 1, и, зная одну из этих величин, мы можем вычислить другую.

Учитывая все скрещивания, происходящие в данном поколении, мы видим, что р яйцеклеток, содержащих ген B, и яйцеклеток, содержащих ген b, оплодотворяются р сперматозоидами, содержащими ген B, и q сперматозоидами, содержащими ген b:

(рB + qb) X (рB + qb)

Соотношение типов потомков, возникающих в результате всех этих скрещиваний, дается алгебраическим выражением:

р²BB + 2рqBb + q²bb.

Если р - частота гена B - равна 1/2, то q - частота гена b - равна (1-р), т.е. 1 - 1/2 = 1/2.

По формуле частота генотипа BB, т. е. р², равна (1/2)²=1/4, а частота генотипа Bb, т. е. 2рq, равна 2 X 1/2 X 1/2 = 1/2; частота генотипа bb, т. е. q²2, равна (1/2)², или 1/4. Любая популяция, в которой распределение аллелей B и b соответствует отношению р²BB + 2рqBb + q²bb, находится в генетическом равновесии. Относительные частоты этих аллелей в последующих поколениях будут такими же (если они не изменятся под действием отбора или в результате мутаций).

Отсюда следует, что если р² - частота генотипа BB - или q² - частота генотипа bb - известна, то можно подсчитать частоту других генотипов. Чтобы определить число людей в популяции, являющихся носителями данного признака, нужно только знать, связано ли его наследование с одной парой генов, и установить частоту появления индивидуумов, гомозиготных по рецессивному признаку.

Доказанное положение о неизменности соотношения между определенными аллелями в последовательных поколениях остается справедливым при любом исходном соотношении, которое может быть различно в разных генофондах. Например, в рассмотренной выше популяции аллели B и b находятся в отношении 0,5 : 0,5, в другой популяции они могут находиться в отношении 0,7 : 0,3. Если в этой второй популяции все особи имеют равные шансы достигнуть половой зрелости и равные возможности для образования гамет, то 70% сперматозоидов, произведенных всеми самцами, будут содержать ген В и 30% - ген b. Точно так же 70% яйцеклеток, образовавшихся у всех самок, будут иметь ген B и 30% - ген b. При случайном соединении этих яйцеклеток со сперматозоидами соотношение различных генотипов в потомстве составит 0,49 BB + 0,42 Bb + 0,09 bb:

Закономерное распределение генотипов в ряду поколений в зависимости от частоты образования гамет разных типов
Ж	B(р=0,7)	b(q=0,3)
M
B(р=0,7)	BB (p²=0,49)	Bb (pq=0,21)
b(q=0,3)	Bb (pq=0,21)	bb (q²=0,09)

При этом генофонд потомства будет совершенно идентичен генофонду родительского поколения!

В более общей форме это можно представить формулой (рB + qb)², где р - частота одного аллеля (в нашем примере 0,7 для гена B), а q - частота другого аллеля (0,3 для гена b). Умножение (рB + qb) X (рB + qb) дает р²BB + 2рqBb + q²bb. Поскольку в нашем случае р = 0,7, то р² = 0,7 х 0,7 = 0,49; это и будет частота генотипа BB.

Так же находим частоту генотипа bb: q = 0,3, q² = 0,3 X 0,3 = 0,09; наконец, частота гетерозигот Bb равна 2рq = 2 X 0,7 X 0,3 = 0,42.

Путем аналогичных расчетов можно показать, что и следующее поколение, и каждое из дальнейших поколений будут иметь такой же генофонд (0,7 B + 0,3 b) и между всеми тремя генотипами сохранится то же соотношение (0,49 BB : 0,42 Bb : 0,09 bb). Однако это равновесие верно лишь при следующих условиях:

размеры популяции велики, так что случайные отклонения не оказывают влияния на частоты генов;
особи с тремя различными генотипами имеют равные шансы выжить, найти партнера для размножения и оставить потомство;
скрещивание происходит случайным образом; выбор партнеров не зависит от их генотипа;
гены B и b не мутируют;
популяция изолирована, т.е. отсутствует обмен генами с другими популяциями.

При соблюдении этих условий популяция будет находиться в состоянии генетического равновесия и никаких эволюционных изменений происходить не будет.

В природе таких популяций практически не существует. Размеры популяций разных видов обычно сильно различаются. Например, у малоподвижных животных, таких как слизни, небольшие по размеру популяции формируются недалеко друг от друга, если имеется изолирующий их барьер (например ручьи, реки или высокая изгородь), который они не могут преодолеть.

Не происходит в природе и случайных скрещиваний. В большинстве случаев они избирательны. Так, быстрее других будут опылены насекомыми цветки с наиболее яркими лепестками и большим количеством нектара. Самки птиц, млекопитающих спариваются с более сильным и здоровым самцом. Отстранение от размножения слабых особей уменьшает их шанс в передаче аллелей последующим поколениям.

Генетическая структура популяции может изменяться под влиянием различных факторов, например мутаций генов, в результате чего равновесие Харди-Вайнберга нарушается.

Т.о., с помощью формулы Харди-Вайнберга можно определить ожидаемые частоты генов, генотипов и фенотипов в поколениях свободно скрещивающейся популяции. Численные значения р и q, вычисленные по формуле Харди-Вайнберга, как правило, бывают близкими к фактическим.

Если известна частота встречаемости рецессивных гомозигот (q) в популяции, можно вычислить

частоту доминантных гомозигот (р = 1 - q)
частоту гетерозигот (2рq)
частоту рецессивного аллеля: b = √ q
частоту доминантного аллеля: B = 1 - √ q
частоту доминантной гомозиготы (вариант 2): BB = B²
частоту гетерозиготы (вариант 2): Bb = 2 х √ q х (1-√ q)

Расчеты показывают, что в последующих поколениях в популяции сохраняется равновесное распределение частот генов. Но это равновесное соотношение наблюдается в достаточно многочисленной популяции с одинаковой жизнеспособностью гомо- и гетерозиготных особей. В такой модельной популяции не возникают мутации (или ими можно пренебречь) и не проявляется действие отбора, уничтожающего особей определенного генотипа. При этих условиях будет воспроизводиться один и тот же генотип, т. е. сохраняться определенное генетическое равновесие в последующих поколениях.

Правило Харди-Вайнберга, позволяя дать количественную оценку генетической изменчивости популяций, указывает на постоянно существующие в популяции потенциальные возможности для ее стабильности, которая нарушается факторами природной среды. Наличие в популяции значительной доли рецессивных аллелей в гетерозиготном состоянии позволяет им сохраниться, так как они фенотипически не проявляются, а, следовательно, надежно укрыты и поэтому не устраняются из популяции. Таким образом, природная популяция является генетически гетерогенной. Гетерогенность популяции возникает и поддерживается за счет появления время от времени новых мутаций и генетической рекомбинации у видов с половым размножением.

Дополнительно: определение частоты носителей гена - Использования методов популяционной генетики при изучении наследственности у человека