Корреляционный анализ

При изучении общественного здоровья и здравоохранения в научных и практических целях исследователю часто приходится проводить статистический анализ связей между факторными и результативными признаками статистический совокупности (причинно-следственная связь) или определение зависимости параллельных изменений нескольких признаков этой совокупности от какой либо третьей величины (от общей их причины). Необходимо уметь изучать особенности этой связи, определять ее размеры и направление, а также оценивать ее достоверность. Для этого используются методы корреляции.

Виды проявления количественных связей между признаками
- функциональная связь
- корреляционная связь
Определения функциональной и корреляционной связи
Функциональная связь — такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для физико-математических процессов.
Корреляционная связь — такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов.
Практическое значение установления корреляционной связи. Выявление причинно-следственной между факторными и результативными признаками (при оценке физического развития, для определения связи между условиями труда, быта и состоянием здоровья, при определении зависимости частоты случаев болезни от возраста, стажа, наличия производственных вредностей и др.)
Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др.
Величина, характеризующая направление и силу связи между признаками. Коэффициент корреляции, который одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями), пределы его колебаний от 0 до ± 1
Способы представления корреляционной связи
- график (диаграмма рассеяния)
- коэффициент корреляции
Направление корреляционной связи
- прямая
- oбратная
Сила корреляционной связи
- сильная: ±0,7 до ±1
- средняя: ±0,3 до ±0,699
- слабая: 0 до ±0,299
Методы определения коэффициента корреляции и формулы
- метод квадратов (метод Пирсона)
- ранговый метод (метод Спирмена)
Методические требования к использованию коэффициента корреляции
- измерение связи возможно только в качественно однородных совокупностях (например, измерение связи между ростом и весом в совокупностях, однородных по полу и возрасту)
- расчет может производиться с использованием абсолютных или производных величин
- для вычисления коэффициента корреляции используются не сгруппированные вариационные ряды (это требование применяется только при вычислении коэффициента корреляции по методу квадратов)
- число наблюдений не менее 30
Рекомендации по применению метода ранговой корреляции (метод Спирмена)
- когда нет необходимости в точном установлении силы связи, а достаточно ориентировочных данных
- когда признаки представлены не только количественными, но и атрибутивными значениями
- когда ряды распределения признаков имеют открытые варианты (например, стаж работы до 1 года и др.)
Рекомендации к применению метода квадратов (метод Пирсона)
- когда требуется точное установление силы связи между признаками
- когда признаки имеют только количественное выражение
Методика и порядок вычисления коэффициента корреляции
1) Метод квадратов
- построить вариационные ряды для каждого из сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд чисел соответственно х и у;
- определить для каждого вариационного ряда средние значения (М₁ и М₂);
- найти отклонения (d_х и d_y) каждого числового значения от среднего значения своего вариационного ряда;
- полученные отклонения перемножить (d_x X d_y)
- каждое отклонение возвести в квадрат и суммировать по каждому ряду (Σ d_x² и d_y² )
- подставить полученные значения в формулу расчета коэффициента корреляции:
  
  при наличии вычислительной техники расчет производится по формуле:
2) Ранговый метод
- составить два ряда из парных сопоставляемых признаков, обозначив первый и второй ряд соответственно х и у. При этом представить первый ряд признака в убывающем или возрастающем порядке, а числовые значения второго ряда расположить напротив тех значений первого ряда, которым они соответствуют
- величину признака в каждом из сравниваемых рядов заменить порядковым номером (рангом). Рангами, или номерами, обозначают места показателей (значения) первого и второго рядов. При этом числовым значениям второго признака ранги должны присваиваться в том же порядке, какой был принят при раздаче их величинам первого признака. При одинаковых величинах признака в ряду ранги следует определять как среднее число из суммы порядковых номеров этих величин
- определить разность рангов между х и у (d): d = х — у
- возвести полученную разность рангов в квадрат (d²)
- получить сумму квадратов разности (Σ d²) и подставить полученные значения в формулу:

Схема оценки корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Сила связи Направление связи

прямая (+) обратная (-)

Сильная от + 1 до +0,7 от - 1 до - 0,7

Средняя от + 0,699 до + 0,3 от - 0,699 до - 0,3

Слабая от + 0,299 до 0 от - 0,299 до 0

Вычисление ошибки коэффициента корреляции
- ошибка коэффициента корреляции, вычисленного методом квадратов (Пирсона):
- ошибка коэффициента корреляции, вычисленного ранговым методом (Спирмена):
Оценка достоверности коэффициента корреляции,полученного методом ранговой корреляции и методом квадратов
Способ 1
Достоверность определяется по формуле:

Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n — 2), где n — число парных вариант. Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%.
Способ 2
Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n — 2), он равен или более табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥95%.

Задача - эталон

на применение метода квадратов

Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.

Таблица 1

Жесткость воды
(в градусах) Количество кальция в воде
(в мг/л)

4
8
11
27
34
37 28
56
77
191
241
262

Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.

Решение.
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).

Жесткость воды
(в градусах) Количество кальция в воде
(в мг/л) d_х d_у d_х х d_у d_x² d_y²

4
8
11
27
34
37 28
56
77
191
241
262 -16
-12
-9
+7
+14
+16 -114
-86
-66
+48
+98
+120 1824
1032
594
336
1372
1920 256
144
81
49
196
256 12996
7396
4356
2304
9604
14400

М_х=Σ х / n М_у=Σ у / n Σ d_х x d_у=7078 Σ d_х²=982 Σ d_y²=51056

М_х=120/6=20 М_y=852/6=142

Определить средние величины M_x ряду вариант "х" и М_у в ряду вариант "у" по формулам:
М_х = Σх/n (графа 1) и
М_у = Σу/n (графа 2)
Найти отклонение (d_х и d_у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у"
d_х = х — М_х (графа 3) и d_y = у — М_у (графа4).
Найти произведение отклонений d_x х d_y и суммировать их: Σ d_х х d_у (графа 5)
Каждое отклонение d_x и d_у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d_x² = 982 (графа 6) и Σ d_y² = 51056 (графа 7).
Определить произведение Σ d_x² х Σ d_y² и из этого произведения извлечь квадратный корень
Полученные величины Σ (d_x x d_y) и √(Σd_x² x Σd_y²) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:

Определить достоверность коэффициента корреляции:
1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr_xy) и критерий t по формулам:

Формулы

Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.

2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n — 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r_xу = + 0,99 больше табличного (r_табл = + 0,917 при р = 99%).

Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная: r_ху = + 0,99, р > 99,9%).

Задача - эталон

на применение рангового метода

Задание: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:

Стаж работы в годах Число травм на 100 работающих

до 1 года
1-2
3-4
5-6
7 и более 24
16
12
12
6

Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод — метод квадратов.

Решение. Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.

Таблица 2

Стаж работы в годах Число травм Порядковые номера (ранги) Разность рангов Квадрат разности рангов

X Y d(х-у) d²

До 1 года 24 1 5 -4 16

1-2 16 2 4 -2 4

3-4 12 3 2,5 +0,5 0,25

5-6 12 4 2,5 +1,5 2,25

7 и более 6 5 1 +4 16

Σ d² = 38,5

Каждый из рядов парных признаков обозначить через "х" и через "у" (графы 1—2).
Величину каждого из признаков заменить ранговым (порядковым) номером. Порядок раздачи рангов в ряду "x" следующий: минимальному значению признака (стаж до 1 года) присвоен порядковый номер "1", последующим вариантам этого же ряда признака соответственно в порядке увеличения 2-й, 3-й, 4-й и 5-й порядковые номера — ранги (см. графу 3).
Аналогичный порядок соблюдается при раздаче рангов второму признаку "у" (графа 4).
В тех случаях, когда встречаются несколько одинаковых по величине вариант (например, в задаче-эталоне это 12 и 12 травм на 100 работающих при стаже 3—4 года и 5—6 лет, порядковый номер обозначить средним числом из суммы их порядковых номеров. Эти данные о числе травм (12 травм) при ранжировании должны занимать 2 и 3 места, таким образом среднее число из них равно (2 + 3)/2 = 2,5.
Таким образом, числу травм "12" и "12" (признаку) следует раздать ранговые номера одинаковые — "2,5" (графа 4).
Определить разность рангов d = (х — у) — (графа 5)
Разность рангов возвести в квадрат (d²) и получить сумму квадратов разности рангов Σ d² (графа 6).
Произвести расчет коэффициента ранговой корреляции по формуле:

где n — число сопоставляемых пар вариант в ряду "x" и в ряду "у"
Определить достоверность коэффициента ранговой корреляции.
1-й способ. Определить ошибку (mр_ху) коэффициента ранговой корреляции и оценить достоверность его с помощью критерия t:

Полученный критерий t = 5,75 соответствует вероятности безошибочного прогноза (р) больше 95 %:
р_ху = - 0,92; mр_ху = ± 0,16; t = 5,75; р > 95%
2-й способ. По таблице "Стандартных коэффициентов корреляции": при числе степеней свободы (n - 2) = 5 - 2 = 3 наш расчетный коэффициент корреляции р_ху = - 0,92 больше табличного 0,878 и меньше 0,933, что соответствует вероятности безошибочного прогноза больше 95% и меньше 98%. Это позволяет считать полученный коэффициент ранговой корреляции достоверным.
Вывод. С вероятностью безошибочного прогноза (р) больше 95% установлено, что чем больше стаж работы, тем меньше частота травм (связь обратная, сильная, достоверная корреляционная: р_ху = - 0,92, p > 95%.

Приложение 1.

Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)

Число степеней свободы — 2 Уровень вероятности р (%)
95% 98% 99%

1 0,997 0,999 0,999

2 0,950 0,980 0,990

3 0,878 0,934 0,959

4 0,811 0,882 0,917

5 0,754 0,833 0,874

6 0,707 0,789 0,834

7 0,666 0,750 0,798

8 0,632 0,716 0,765

9 0,602 0,885 0,735

10 0,576 0,858 0,708

11 0,553 0,634 0,684

12 0,532 0,612 0,661

13 0,514 0,592 0,641

14 0,497 0,574 0,623

15 0,482 0,558 0,606

16 0,468 0,542 0,590

17 0,456 0,528 0,575

18 0,444 0,516 0,561

19 0,433 0,503 0,549

20 0,423 0,492 0,537

25 0,381 0,445 0,487

30 0,349 0,409 0,449

Источник

Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения. Под ред. чл.-корр. РАМН, проф. В.З.Кучеренко. М., "Гэотар-Медиа", 2007, учебное пособие для вузов

Литература

Власов В.В. Эпидемиология. — М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. — 464 с.
Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. — М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. — 512 с.
Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. — М.: Медицина, 2003. — 368 с.
Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). — СПб, 1998. -528 с.
Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) — Москва, 2000. — 432 с.
С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. — М., Практика, 1998. — 459 с.